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Ecuaciones cuadráticas

Veníamos hablando en artículos anteriores, sobre lo que son las ecuaciones y las diferentes clases o tipo de ecuaciones que se pueden encontrar.

Decíamos también, que las ecuaciones como igualdades entre expresiones algebraicas, las cuales se llaman miembros, buscan o la finalidad de ellas es hallar la incógnita o incógnitas. 

En el artículo anterior, hablábamos sobre las ecuaciones de primer grado, aquellas que reciben su nombre porque las variables o los números están elevados o tienen una exponencial igual a uno (1).

En este artículo, nos dedicaremos entonces a hablar sobre las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado.

Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado, introducción:

Se les llama o se les conoce como ecuaciones cuadráticas o de segundo grado, debido a que están elevadas o tienen una potencia correspondiente al número 2.

A diferencia de las ecuaciones de primer grado, donde el exponente es uno, en estas la mayor potencia es dos (2). Veamos un ejemplo: ax2 + bx + c= 0.

Para que entendamos mejor, la letra X corresponde a la variable, las letras a,b,c y c, corresponden dentro de la ecuación cuadrática a las constantes, es decir a las que no cambian y el exponente dos (2) que nos permite identificar el tipo de variable.

Cuando se quiere representar una ecuación cuadrática, siempre se debe tener en cuenta que esta tiene la forma de una parábola dentro del plano cartesiano.

Recordemos que las parábolas, son un espacio o lugar geométrico que se crea a partir de los puntos ubicados en el plano cartesiano y que se encuentran equidistantes dentro del mismo.

Si nos remontamos en la historia a buscar el origen de estas ecuaciones, diremos que las respuestas son totalmente inciertas, como la mayoría de los datos o elementos relacionados con las matemáticas.

Pero se conoce, que en las civilizaciones de la antigua Babilonia, se utilizó o se empleo este tipo de procedimientos matemáticos, se han encontrado algoritmos parecidos, que representan en parte las ecuaciones.

Entre lo que se ha encontrado de estas antiguas civilizaciones han sido vestigios de igualdades entre elementos o símbolos.

Con los años, en Grecia, se avanzó más hacia este tipo de algoritmos o formas de ecuación, la evolución y los aportes de pensadores matemáticos, permitieron tener las ecuaciones que hoy en día conocemos como tal.

Las ecuaciones de primer grado tiene formas para ser solucionadas, una de ella depende la fórmula para resolverla y la otra está directamente relacionada con un componente de la primera denominado discriminante.

La fórmula de las ecuaciones cuadráticas permite tener u obtener las raíces de la ecuación. Estas raíces son las soluciones posibles de las ecuaciones cuadráticas.

De estas raíces, se desprende o se sustrae la discriminante, esta permite saber la índole y la cantidad de raíces de la ecuación. Las discriminantes pueden tener dos tipos de valores, pueden ser discriminante positiva cuando la parábola cruza dos veces sobre el eje X y puede ser discriminante igual a cero, cuando la parábola solo toca un punto del eje X.

Clases de ecuaciones cuadráticas o de segundo grado:

Las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado, también se pueden clasificar, veamos:

-         Ecuación cuadrática completa: Este tipo de ecuación de segundo grado, tiene una forma de representación gráfico dentro del plano como canónica. 

En esta ecuación, también se presentan las tres constantes con valores que no pueden ser iguales a cero. Esta ecuación puede resolverse de tres formas o tres conceptos: 

1.     Que tengan dos números reales y diferentes entre sí.
2.     Que tenga dos números reales y que sean iguales.
3.     Que tenga dos números complejos, conjugados por la variable  según el valor de la discriminante.

Veamos un ejemplo: 

D= b2 – 8ac

-         Ecuación cuadrática incompleta pura: Se da o se presenta este tipo de ecuaciones de dos formas, una cuando a y c son diferentes del número 0. Y la segunda forma, es cuando es incompleta  cuando a no es igual a cero (0).

Veamos un ejemplo:

Cuando a y c son iguales a cero ---- ax2 + c = 0
Cuando es incompleta y a no es igual a cero ---- ax2 = 0

-         Incompleta Mixta: En este tipo de ecuación cuadrática, se define como tal cuando las constantes a y b no son iguales a cero (0). La forma para solucionar o despejar estas ecuaciones es por medio de la factorización de X. Es decir se toma X y se reemplaza por el valor de uno (1).

Veamos un ejemplo: ax2 + b2 = 0

Para solucionarlas o mejor, para despejar las ecuaciones cuadráticas existen algunos métodos con los que esto es posible. A continuación mencionaremos algunos.

-         Método de factorización: Este método consiste en solo tres pasos, el primero consiste en igualar la ecuación cuadrática a cero (0), de este modo el segundo paso consiste en que aquella igualdad que daba cero sea expresada con valores diferentes, tales como factores, por último se igualan de nuevo los factores de la ecuación y se despejan.

-         Método de raíz cuadrada: En este tipo de método para despejar ecuaciones cuadráticas, se hace uso de una ley de  propiedad de raíz cuadrada. 

Esta ley dice que cualquier número real R, la ecuación o ecuaciones dónde se tenga X2, es igual a que x es igual a +/- la raíz cuadrada de R es decir un número real cualquiera. De esta forma de despejan las ecuaciones de este tipo.

-         Método de complementación del cuadrado: Este método, consiste en hallar el tercer elemento que forma un trinomio cuadrado perfecto.  Cuando este es hallado se obtiene una ecuación de tipo equivalente.

De esta forma cuando se consigue el número faltante del trinomio, se reemplaza a ambos lados de la ecuación, de esta forma se obtiene una ecuación cuadrática que despejar.

Esta ha sido toda la información que este post a querido recopilar y entregarles de forma que pueda servirles con las dudas que tengan al respecto.
Recuerden que existen varios tipos de ecuaciones y que estas son sólo una de tantas otras.

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